用定义证明(x-2)(x-1)⼀(x-3)的x趋向于1时函数极限为0

用定义证明(x-2)(x-1)/(x-3)当x趋向于1时的极限为0：
对于任给的ε>0，因为 x->1，所以可以限制 1/2则|(x-2)(x-1)/(x-3)-0|=|x-2| |x-1| /|x-3| = (2-x) |x-1| /(3-x) < (2-1/2) |x-1| /(3-3/2) = |x-1| ，
故存在δ=ε，当|x-1|<δ时，成立|(x-2)(x-1)/(x-3)-0| < |x-1| <ε。证毕。

本证明题的关键是需要去掉|x-2|和|x-3|中的x，即需要把这两个变化着的绝对值定量化，
方法是，合理地把x 限制在1的附近：1/2

f(x) = (x-2)(x-1)/(x-3) x ≠ 3
f(x) 除了x=3点之外处处连续，
因此：lim (x-->1) f(x) = f(1) = 0.

证明：令│x-1│<1，则00，解不等式
│(x-2)(x-1)/(x-3)│=│[(2-x)/(3-x)]*(x-1)│<│x-1│<ε
得│x-1│<ε，取δ=min(1,ε)。
于是，对任意的ε>0，总存在δ=min(1,ε)。当│x-1│<δ时，有│(x-2)(x-1)/(x-3)│<ε。
故根据极限定义知， lim(x->1)[(x-2)(x-1)/(x-3)]=0。